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Analítica: 2. Regra da Falsa Posição

José Lucivaldo Leite da Silva (Prof. Zé)

Retirado do livro Contando a história da matemática, 2 - Equação: o idioma da álgebra, Oscar Guelli, Editora Ática, São Paulo, SP, 1995, pág. 8)


Escrito em hierático, o papiro consta de 87
problemas e sua resolução. Muitos deles têm
por base problemas do cotidiano, como a
medida de cerveja e a divisão de pão.
A resposta verdadeira do número falso

A maior parte dos problemas do Papiro de Ahmes refere-se a assuntos do dia-a-dia dos antigos egípcios: o preço do pão e da cerveja, a alimentação do gado, a quantidade de grãos de trigo armazenados. Alguns, no entanto, eram do tipo “Determinar um número tal que...”. Ou seja, não se referiam a coisas concretas, mas aos próprios números.

Nesses problemas, o número procurado era sempre representado pela mesma palavra: montão.

Um montão, sua metade, seus dois terços, todos juntos são 26. Digam-me: Qual é a quantidade?

Hoje podemos traduzir o problema para a Álgebra, através desta equação:

E resolvê-lo não é nada difícil:

Os egípcios não usavam Álgebra, mas conseguiam resolver este problema de um modo engenhoso: a regra do falso.

• Inicialmente, atribuíam a montão um valor falso, por exemplo, 18:

• Os valores falsos (18 e 39) eram então usados para montar uma regra de três simples com os elementos do problema:

Valor falso Valor verdadeiro
18 montão
39 26

Minha contribuição

No livro citado lá em cima, você tem mais exemplos de problemas sendo resolvidos pela regra do número falso.

Agora vejamos porque a regra do falso funciona, e vamos observar do ponto de vista geométrico fazendo uma mudança de quadros, passando pela geometria analítica e trabalhando com a geometria plana.

A equação que analisamos acima, pode ser vista como a função , que é uma função do 1º grau.

Quando "chutamos um valor para x", encontramos um valor de y relacionado com o mesmo. Assim temos:

x y = f (x)
18 39
x' = montão 26

Se pusermos nos eixos cartesianos teremos:

Mudando agora para a geometria plana, teremos:

Por conta disso podemos aceitar a idéia de montarmos uma proporção para resolver o problema.

Outra possibilidade para resolução do problema:

Uma outra possibilidade, já que fizemos a mudança de quadros para a geometria analítica, seria buscarmos mais um ponto sobre a reta que representa a função, por exemplo, fazendo x = 0, encontraremos y = 0.

Podemos colocar os três pontos em um determinante e impor que este dê zero (condição de alinhamento de três pontos).

>> AINDA SOBRE Analítica

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