Matrizes: 1. Inversão de matrizes

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Prof. Gioseppe Nobilioni

DEFINIÇÃO E EXISTÊNCIA

A matriz quadrada M, de ordem n, admite inversa se, e somente se, det M ≠ 0. Neste caso a matriz M é chamada INVERSÍVEL ou não-singular. A sua inversa, que também é quadrada de ordem n e é representada por M-1, além de existir, é única e é definida por

sendo In a matriz IDENTIDADE de ordem n.

Se det M = 0, então a matriz M não tem inversa. Neste caso a matriz M é chamada NÃO-INVERSÍVEL ou singular.

Assim sendo:

CONDIÇÃO SUFICIENTE

Demonstra-se que:

"Se A e B forem duas matrizes quadradas de ordem n, tais que A . B = In, então, necessariamente, B . A = In e, portanto, A . B = B . A = In." Por este motivo, apesar da exigência da definição, A . B = In é condição suficiente para A e B serem inversas uma da outra.

Simbolicamente:

COMO OBTER A MATRIZ INVERSA

A matriz inversa de , por exemplo, é do tipo , e da definição decorre que:

Assim sendo:

O processo apresentado, embora simples e claro por utilizar apenas a definição, é muito trabalhoso, pois depende, de um modo geral, da resolução de n sistemas e de n equações a n incógnitas.

É mais prático calcular a matriz inversa com a utilização do teorema:

Obtendo-se, pela ordem:

a) O determinante de M (det M).
b) A matriz M', chamada matriz dos co-fatores, substituindo cada elemento de M pelo respectivo co-fator.
c) A matriz M, chamada matriz adjunta, sabendo-se que M = (M')t.
d) A inversa M-1, multiplicando M por .

Exemplo:

Obtendo a matriz inversa de M = , por este processo, temos:

a) det M = = 12 - 11 = 1

b) M' =


c) M = (M')t =


d) M-1 = . M = =

COMO OBTER UM ELEMENTO DE M-1

Seja M = (aij)nxn uma matriz inversível de bij um elemento de M-1.

O fato de M ser a transposta da matriz dos co-fatores permite concluir que:

sendo Aji o co-fator do elemento aji de M.

Assim sendo:

COMO OBTER O DETERMINANTE DA INVERSA

Se M for uma matriz inversível e M-1 a sua inversa, de acordo com a definição, temos:

M . M-1 = In det (M . M-1) = det (In)

(det M) . (det M-1) = 1

e portanto:

PROPRIEDADES

Se A e B forem duas matrizes inversíveis e de mesma ordem, então:

(A-1)-1 = A (At)-1 = (A-1)t
A = B A-1 = B-1 (A . B)-1 = B-1 . A-1


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