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Aritméticas e Geométricas
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As progressões aritméticas formam-se a partir da soma repetida de uma mesma quantidade. Já nas progressões geométricas, os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Termo geral: a_n = a₁ + (n - r) . r

Soma dos n primeiros termos: .

Seja uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 1 e razão r.

Vamos calcular r nos seguintes casos:

— Quando a soma dos termos é 176 e o último termo é 31.

A progressão é: (1, 1 + r, 1 + 2r...)

a) a₁ = 1, a_n = 31 e S₁ = 176



a_n = a₁ + (n - 1)r 31 = 1 + (11 - 1)r 30 = 10r r = 3

RESPOSTA: r = 3

— Quando a razão entre o oitavo termo e o terceiro termo é 4.



RESPOSTA: r = -3

— Quando a diferença entre os quadrados do décimo termo e do sétimo termo é 3.

= 3 (1 + 9r)² - (1 + 6r)² = 3

1 + 18r + 81r² - 1 - 12r - 36r² = 3 45r² + 6r - 3 = 0


15r² + 2r - 1 = 0

RESPOSTA: r = -1/3 ou r = 1/5

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Termo geral: a_n = a₁ + q^n-1

Soma dos n primeiros termos:

Limite da soma da P.G. infinita:

Sabendo que os termos do primeiro membro da equação 3 + 6 + ... + x = 381 formam uma progressão geométrica, vamos calcular o valor de x.

— Cálculo de n:

a₁ = 3, q = 2, a_n = x e S_n = 381




— Cálculo de x:

a_n = a₁q^n-1 x = 3 . 2^7-1 x = 3 . 2⁶ x = 3 . 64 x = 192

RESPOSTA: O valor de x é 192.