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Óptica: 1. Lentes

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Dentre os componentes de sistemas ópticos mais úteis, devemos
citar as lentes. Se você tiver oportunidade de olhar detalhadamente a
estrutura de uma máquina fotográfica moderna ou uma lente zoom
ou ainda um telescópio, você entenderá rapidamente a relevância
das lentes esféricas. Estes instrumentos úteis são construídos
utilizando lentes esféricas. Os óculos são constituídos
de duas lentes esféricas.

Na
figura ao lado temos um esquema de uma lente zoom de uma máquina fotográfica
moderna. Nesse caso ela é composta de três lentes.

A utilidade de uma lente é que com elas podemos aumentar (ou reduzir)
o tamanho de um objeto. E esse aumento pode chegar a milhares de vezes. Esse
é o caso dos microscópios e telescópios.

Neste artigo vamos entender como funcionam as lentes esféricas. As
lentes de uso mais amplo são aquelas constituídas de vidro ou
de acrílico (óculos, por exemplo).

Denominamos de lentes esféricas a um arranjo no qual estão dispostos
dois dioptros. Um dos dioptros deve ser um dioptro esférico e o outro
poderá ser outro dioptro esférico ou um dioptro plano. A lente
esférica e o objeto transparente limitado pelas superfícies S1
e S2 dos dois dioptros. Denominaremos de n1 o índice
de refração do meio no qual a lente está imerso (em geral
o ar) e de n2 o índice de refração do meio do
qual a lente é constituída.

Centro de curvatura e raio de curvatura

Para o que segue adotaremos ainda as seguintes definições:

Cada fase é constituída de uma superfície esférica
de raio R. Temos, portanto, numa lente esférica, em geral, dois raios
de curvatura R1 e R2. Consequentemente, teremos também
dois centros de curvatura C1 e C2.

O eixo passando por C1 e C2 é o eixo principal.
Ele cruza a primeira face no ponto V1 (um vértice da lente)
e a segunda face no ponto V2 (o segundo vértice da lente).
A distância entre V1 e V2 será adotada como
a espessura (e) da lente.

Finalmente, vamos introduzir a nomenclatura comumente utilizada ao nos referirmos
às lentes esféricas. Podemos ter seis tipos de lentes esféricas
(formada por dioptros esféricos ou esférico e plano). Se olharmos
para o perfil dessas lentes, veremos que três delas têm bordas finas
e três delas têm bordas espessas.

Os nomes das lentes são, usualmente, associados às faces. Existem
duas faces a nomear. Se a primeira fase for plana, o nome plano vem em primeiro
lugar (plano-côncavo e plano-convexo). Se as faces tiverem nomes iguais
fazemos uso do prefixo bi (bicôncava, biconvexa). Nos demais casos citamos
a face que tiver o maior raio de curvatura em primeiro lugar e em seguida a
de menor curvatura. Temos assim, de acordo com essa convenção
os nomes das diversas lentes esféricas na figura acima.

Denominamos de lente delgada a uma lente tal que sua espessura seja muito
menor do que os raios da curvatura de qualquer uma das faces (espessura desprezível).

Imagem num dioptro esférico

Para procedermos ao estudo analítico do processo de formação
de imagem numa lente, vamos estudar a imagem de um objeto puntiforme diante
de um dioptro esférico. Os dois meios transparentes serão assumidos
possuindo índices de refração n1 e n2
e separados por uma superfície esférica de raio R. O objeto está
no ponto O e a imagem se formará no ponto I o qual se encontra no eixo
passando pelo centro de curvatura C e o objeto O. As coordenadas da imagem I
e do objeto são p e p’.

Consideremos primeiramente um raio incidente proveniente de O formando um ângulo
a com a horizontal e q1
com a normal à superfície. Este raio é refratado formando
um ângulo q2 com a normal e um ângulo
g com a horizontal. O conjunto de raios refratados
formará a imagem em I do objeto.

Admitiremos que todos os ângulos são pequenos e que, portanto,
as seguintes aproximações são válidas:

De acordo com a Lei de Snell teremos

De acordo com a Lei de Snell teremos

n1 sen q1
= n2 sen q2

Admitindo que os ângulos são pequenos, teremos uma relação
simples entre os ângulos q1 e q2:

n1 q1
= n2 q2

Lembramos agora que num triângulo qualquer um ângulo exterior é
igual à soma dos ângulos interiores opostas à ele. Se aplicarmos
esse resultado para os triângulos OPC e IPC podemos afirmar que valem
as relações:

q1
= a + b

q2 = b
+ g

Utilizando a seguir as aproximações mostradas acima para a,
be g teremos

Vemos, assim, que essa equação tem uma certa semelhança
com a equação para os espelhos. A convenção dos
sinais das coordenadas é a seguinte:

  • p é positivo se o objeto estiver na frente
    da superfície (objeto real)
  • p é negativo se o objeto estiver atrás
    da superfície (objeto virtual)
  • p’ é positivo se a imagem estiver atrás
    da superfície (imagem virtual)
  • p’ é negativo se a imagem estiver na frente
    da superfície (imagem real)
  • R é positivo se o centro de curvatura estiver atrás
    da superfície
  • R é negativo se o centro de curvatura estiver na
    frente da superfície

ESTUDO ANÁLITICO

Aumento linear

Para o estudo analítico da localização da imagem e o aumento
linear faremos uso de um referencial de Gauss para as lentes. A diferença
no caso dos espelhos consiste no fato de adotarmos para a coordenada x (o eixo
das abcissas) uma orientação para o objeto e uma outra orientação
(oposta a essa) para a imagem.

Essas
orientações podem ser resumidas pelo diagrama ao lado:

Lembrando agora que:

p = abcissa do objeto
p’ = abcissa da imagem
o = ordenada do objeto
i = ordenada da imagem

Consideremos agora um objeto disposto frontalmente a uma lente delgada. As
dimensões do objeto na direção horizontal serão
assumidas desprezíveis. As coordenadas do objeto são as coordenadas
(o, p) associado ao seu extremo (o) e à sua localização
no eixo das abcissas (p). Aquelas associadas à imagem são (i,
p’) i (para o extremo) e p’ para a abcissa.

Analisando na figura acima os triângulos semelhantes PQV e P’V’Q temos

Como

tem-se da semelhança de triângulos que .

Portanto, o aumento linear A é tal que .

Equação dos fabricantes de lentes

A idéia básica ao lidarmos com as lentes, e que nos permite
determinar a localização da imagem, é que a imagem formada
pelo primeiro dioptro se torna o objeto para o segundo dioptro.

Vamos considerar um objeto O diante de uma lente de acordo com a figura abaixo.
A imagem I1 conjugada pelo primeiro dioptro (de raio R1
) tem abcissa p’1 de tal forma que utilizando a equação
anteriormente obtida para um dioptro esférico

A imagem I1 é o objeto (virtual nesse caso) para o dioptro
de superfície S2 com raio R2. Para essa superfície
temos (lembrando que o objeto é agora virtual para a superfície
S2 e que S2 é negativo)

Somando agora as duas últimas equações obtemos .

Dividindo a equação n1 anterior por obtém-se
.

Esta equação é conhecida como equação dos
fabricantes de lentes. Ela se torna inteiramente análoga à equação
dos espelhos esféricos se definirmos a distância focal f
através da relação

A equação acima é conhecida também por equação
dos fabricantes de lentes. Utilizando essa equação teremos, com
essa definição, a equação


que é uma equação análoga aos espelhos esféricos.

No caso em que uma das superfícies for plana, a equação
se aplica igualmente, ela é até mais simples nesse caso, pois,
basta tomarmos o raio de uma delas tendendo ao infinito. Por exemplo, se o primeiro
dioptro for plano e o segundo for esférico de raio R a equação
dos fabricantes se torna

A relevância da distância focal de uma lente pode ser analisada
quando consideramos raios incidentes paralelamente ao eixo principal de uma
lente. Nesse caso as lentes se dividem em duas categorias. Nas lentes convergentes
os raios convergem para um ponto (o foco da lente). Este é o significado
físico da distância focal. Ela nos dá a que distância
da lente haverá a convergência dos raios paralelos. As lentes de
borda fina são convergentes.

Se a lente for divergente então os raios refratados não convergem
para um ponto. No entanto, o prolongamento desses raios converge num ponto –
o foco. As lentes de borda espessa são divergentes.

Tomemos, para ilustrar esse ponto, o ponto p tendendo para infinito (os raios
vão agora se tornando paralelos). Para um objeto no infinito
a imagem acontece no ponto


ou seja, a imagem está no foco.

Lentes convergentes têm a distância focal positiva e lentes divergentes
têm a distância focal negativa.

MÉTODO GRÁFICOPARA AS LENTES DELGADAS

O método gráfico é muito útil para determinarmos
as características da imagem (real, virtual, invertida ou não,
maior ou menor).

Para a utilização do método gráfico basta que
consideremos dois dentre três dos seguintes raios que se originam do objeto.

Raio 1 – raio incidente passando pelo centro da lente.
Nesse caso, ele prossegue sem se desviar.

Raio 2 – raio incidente paralelamente ao eixo principal
da lente. Nesse caso, o raio será refratado passando pelo foco (ou seu
prolongamento, no caso das lentes divergentes).

Raio 3 – raio incidente passando por um dos focos será
refratado saindo paralelamente ao eixo principal.

VERGÊNCIA DE UMA LENTE

Define-se a vergência (C) de uma lente como o inverso da distância
focal. Isto é, .

Para lentes convergentes C > 0, enquanto que para lentes
divergentes C .

Utiliza-se para unidade de vergência a dioptria (di). Uma dioptria é
a unidade associada à distância focal de um metro. Portanto,


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