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Conjuntos numéricos: 1. Conjuntos numéricos: respostas aos problemas da realidade

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Todos os números que conhecemos podem ser divididos em grupos segundo
características comuns entre eles, isto é, os números estão
agrupados em conjuntos – os conjuntos numéricos.

O conjunto mais simples, e o primeiro com o qual temos contato, é o
conjunto dos números naturais. Ele é formado
por números inteiros e positivos, mais o zero. Assim, a partir do zero,
e “andando” de uma em uma unidade, infinitamente, temos os números
naturais.

Representação: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Muita gente acharia a Matemática bem menos complicada se existissem
só esses números! Porém, esse conjunto é limitado
para algumas coisas, isto é, existem alguns problemas que ele não
“consegue resolver”. Tente, por exemplo, achar um sucessor e um antecessor
natural para cada um desses números. O zero não tem antecessor
natural! Outra coisa: é sempre possível subtrair dois números
naturais e achar outro número natural? A resposta é “não”.
Basta tentar fazer 3 – 4.

Assim, é necessário utilizar outros números. Em nosso
cotidiano, outras quantidades aparecem e precisam ser representadas, como um
saldo negativo no banco ou uma variação negativa de temperatura.

O conjunto que soluciona esses problemas é o dos números
inteiros
. Ele é formado pelos inteiros negativos, positivos
e o zero. Continua “andando” de uma em uma unidade, mas agora todos
os seus componentes têm sucessor e antecessor, e é possível
fazer qualquer subtração entre eles, pois o resultado será
sempre inteiro.

Representação: Z = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2,
3, 4, 5, …}

No entanto, como o conjunto dos números naturais, ele tem os seus “probleminhas”.
Não é possível sempre dividir um número inteiro
por outro e o resultado ser inteiro. Se tentarmos dividir 3 por 2, por exemplo,
o resultado não será exato, não será inteiro. Logo,
esse conjunto não serve ainda para representar todas as quantidades existentes.
Nosso sistema monetário, com centavos, não pode ser representado
só com números inteiros. A simples quantia de R$ 1,50 não
é um número inteiro.

É necessário, então, outro conjunto: o dos números
racionais
. Esses números são os resultados de divisões
exatas e inexatas, ou seja, estão incluídos os números
inteiros, os decimais, as frações, as dízimas periódicas
e pode ser definido como o conjunto dos números que podem ser escritos
na forma de fração.

Representação:

Exemplos de números racionais: 0; 1,23; 0, 3333…; œ; -4; 13;
etc.

Os matemáticos de antigamente chegaram a aceitar que esses números
fossem perfeitos, que não houvesse nenhum problema sem solução
para eles. Mas foram surpreendidos com o seguinte questionamento: qual é
a medida da diagonal do quadrado de lado 1?

A diagonal e os lados do quadrado formam um triângulo retângulo,
no qual é possível aplicar o teorema de Pitágoras:

d2 = 12 + 12
d2 = 2

A pergunta aqui, na verdade é: qual é o número racional
que, elevado ao quadrado, resulta em 2? A resposta é: não existe
número racional que, elevado ao quadrado, resulte em 2, nem em 3, nem
em 5 e muitos outros.

O número que soluciona esse problema é a raiz quadrada de dois.
Esse número não é racional, pois possui infinitas casas
decimais, as quais não constituem uma dízima, logo não
pode ser escrito na forma de fração.

Surge, então, um novo conjunto – o dos números irracionais.
Esse conjunto é constituído, basicamente, pelas raízes
não-exatas, mas seu mais famoso integrante é o número p,
seguido do número e.

A união dos irracionais com os racionais forma o conjunto dos números
reais
(R), os quais resolvem quase todo tipo de problema. Isso mesmo:
quase todos os problemas, pois existe uma questão que ainda fica em aberto:
qual o número real que, elevado ao quadrado, resulta em um número
negativo?

Exemplo: qual o número que, elevado ao quadrado, resulta em -4?

Poderíamos pensar no -2, mas (-2) . (-2) = 4 e, com
2 . 2 acontece a mesma coisa. Logo, é preciso um novo
conjunto: o dos números complexos (C) , baseados na
unidade imaginária .
A resposta da pergunta anterior é: o número que elevado ao quadrado
resulta em -4 é 2i.

Enfim, ainda não existe um problema proposto que um elemento desse conjunto
não consiga resolver. Podemos representar os conjuntos numéricos
por meio de um diagrama:

É importante notar a representação dos irracionais, cuja
forma mais correta é R – Q, ou seja, os reais menos os racionais.

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