Matrizes: 1. Inversão de matrizes

A matriz quadrada M, de ordem n, admite inversa se, e somente se,
det M ≠ 0. Neste caso a matriz M é chamada
INVERSÍVEL ou não-singular. A sua inversa, que também é quadrada de ordem
n e é representada por M^-1, além de existir, é única e é
definida por

sendo I_n a matriz IDENTIDADE de ordem
n.

Se det M = 0, então a matriz M não tem inversa. Neste caso a matriz
M é chamada NÃO-INVERSÍVEL ou singular.

Assim sendo:

CONDIÇÃO SUFICIENTE

Demonstra-se que:

“Se A e B forem duas matrizes quadradas de ordem n,
tais que A . B = I_n, então, necessariamente, B . A = I_n e,
portanto, A . B = B . A = I_n.” Por este motivo, apesar da exigência da definição,
A . B = I_n é condição suficiente para A e
B serem inversas uma da outra.

Simbolicamente:

COMO OBTER A MATRIZ INVERSA

A matriz inversa de ,
por exemplo, é do tipo ,
e da definição decorre que:

Assim sendo:

O processo apresentado, embora simples e claro por utilizar apenas a definição, é muito trabalhoso, pois
depende, de um modo geral, da resolução de n sistemas e de n equações a
n incógnitas.

É mais prático calcular a matriz inversa com a utilização do teorema:

Obtendo-se, pela ordem:

a) O determinante de M (det M).
b) A matriz M’, chamada matriz dos co-fatores, substituindo cada elemento
de M pelo respectivo co-fator.
c) A matriz M, chamada matriz
adjunta, sabendo-se que M = (M’)^t.
d) A inversa M^-1, multiplicando M
por .

Exemplo:

Obtendo a matriz inversa de M = ,
por este processo, temos:

a) det M =
= 12 – 11 = 1

b) M’ =

c) M = (M’)^t =

d) M^-1 =
. M =

=

COMO OBTER UM ELEMENTO DE M^-1

Seja M = (a_ij)_nxn uma matriz inversível de b_ij
um elemento de M^-1.

O fato de M ser a transposta da matriz dos
co-fatores permite concluir que:

sendo A_ji o co-fator do elemento a_ji de M.

Assim sendo:

COMO OBTER O DETERMINANTE DA INVERSA

Se M for uma matriz inversível e M^-1 a sua inversa, de acordo
com a definição, temos:

M . M^-1 = I_n
det (M . M^-1) = det (I_n)

(det M) . (det M^-1) = 1

e portanto:

PROPRIEDADES

Se A e B forem duas matrizes inversíveis e de mesma ordem, então:

(A-1)-1 = A	(At)-1 = (A-1)t
A = B A-1 = B-1	(A . B)-1 = B-1 . A-1